Analiză și fractale sisteme numerice non-standard - medicina complementara

apendicele 5
ANALIZA ȘI CUSTOM sisteme numerice fractală
Această carte este folosită în mod constant, pe de o parte, ideea organizării fractală spațiu-timp, pe de altă parte - versiunea reyhenbahovsky a relației de incertitudine a lui Heisenberg, bazată pe conceptele de analiză non-standard. Multe dintre aspectele matematice ale acestor abordări sunt încă considerate ca fiind intuitiv evident. Cu toate acestea, în realitate, lucrurile nu sunt atât de simple. La urma urmei, în matematică în prezent nu sunt destul de satisfăcătoare ca o definiție a unui fractal, precum și dezvoltarea de idei cu privire la natura topologică a analizei non-standard. Și, în timp ce încercăm să arate mai jos, se pare că încercarea cea mai promițătoare la o abordare cuprinzătoare, de colaborare pentru a clarifica aceste două aspecte.

Este de fapt matematica este cunoscut [358, 427], fractal definit în mod obișnuit ca structură spațială, care este auto similară atunci când zoom. Atractivitatea acestei definiții este că aceasta indică direct tranziția transversală strat invariant structural și algoritmice - raportul de similitudine. În același timp, în forma originală a acestei definiții este în mod evident inadecvată chiar și pentru mulți fractali deterministe, să nu mai vorbim stocastic. Cu această abordare, dincolo de domeniul de aplicare al claselor sunt extinse ca o construcții pur matematice și obiecte și procese naturale, care, în fapt, este posibil și chiar necesar, să se aplice exact descrierii fractală.

Cu toate acestea, în unele lucrări matematice actuale pe teoria fractalilor [358] din urmă sunt definite ca obiecte pentru care dimensiunea Hausdorff - Besicovitch nu coincide cu estompare dimensiunea topologică. Această definiție, desigur, mai riguros și extensiv decât primul. Cu toate acestea, nu este lipsit de defecte fundamentale. În primul rând, nu este constructiv, și anume Ea nu conține o referire explicită la proprietățile fundamentale ale structurilor fractale - ierarhie a acestora. lipsit mai ales de ea în orice indiciu al existenței unor invariante strukturnoalgoritmicheskogo. În al doilea rând, este prea largă. De fapt, diferența dintre aceste dimensiuni pe unul dintre nivelurile structurii studiate nu nu poate fi considerată ca un semn al fractale a întregii structuri. În al treilea rând, după cum sa menționat [358], pentru a calcula dimensiunea Hausdorff - Besicovitch design specific - este foarte dificil, de multe ori care necesită ani de cercetare.
Cum de a ajuta cauza? Revenind la prima definiție. Este ușor de observat că acesta se bazează pe conectarea a trei concepte cheie: &ldquo-spațiu&rdquo-, &relație ldquo similaritate&rdquo- și &ldquo scară&rdquo-. La rândul său, acest trio este în centrul &relație ldquo similaritate&rdquo-. Este logic să încerce să obțină o definiție satisfăcătoare a unui fractal, prin varierea definiția de mai sus-menționată a conceptelor cheie. De exemplu, conceptul central &relație ldquo similaritate&rdquo- poate fi definit ca unele invariante strukturnoalgoritmichesky în forma cea mai generală. Mai mult, scala (structura nivel scală) reprezentat în mod logic, după cum urmează.
Rețineți mai întâi că nivelurile la scară de la orice structură trebuie să fie disjuncte - în caz contrar alocarea lor nu este relevantă. În virtutea criteriului de convergență generalizate Cauchy, nivelurile dizjunktnost poate fi asigurată numai în cazul în care multe dintre ele nu mai mult de numărabile, deși cu fiecare nivel poate fi caracterizat prin orice putere de o multitudine de elemente. În consecință, orice niveluri la scară structură poate fi atribuită codurilor naturale și prin aceasta (denumite niveluri ale căror indici diferă cu 1 adiacente) pentru a stabili raportul lor vecinătate definit. Apoi, structura de nivel scală (scală) poate fi definită ca fiind una dintr-un set numărabil de substructuri, astfel încât există între structura subalgoritmi de construcție cel puțin una, nu este invariantă în raport cu această substructură în afișare (pentru) oricare două vecine aceasta.
În cele din urmă, conceptul de &ldquo-spațiu&rdquo- definit în mod satisfăcător în topologia generală.
Astfel, o determinare satisfăcătoare a fractale va lua în considerare prima dintre cele de mai sus în această cerere, cu condiția ca conceptele sale cheie sunt definite așa cum este descris mai sus &rsquo-. În special, următoarele modificări este destul de acceptabil: &ldquo-spațiu&rdquo- -> &câmp numeric ldquo&rdquo-- &relație ldquo similaritate&rdquo- &operațiune ldquo-înlocuire a unui set de numere cardinale&rdquo-- &ldquo scară&rdquo- -> &ldquo-putere&rdquo-. A face această substituire, obținem o indicație clară a legăturii directe între teoria fractalilor și analiza non-standard. Această relație poate fi demonstrată în exemplul de construcție a sistemelor numerice fractale introduse mai jos (PSF).

Analiza topologiei nestandard

Începând cu lucrările fondatorii analizei non-standard, în general, vedere acceptat că &Analiza ldquo -... non-standard nu este destinat rezultate fundamental noi: toate rezultatele metodelor sale pot fi dovedite și instrumente familiare&rdquo- [362, p. 4]. clarifică faptul că analiza non-standard nu este mai (și nu mai puțin!) Decât truc logic să dețină un raționament scurt și clar, având complet &ldquo-indigeste&Formularul rdquo- (dar cu toate acestea este posibil în principiu) în testul obișnuit. Sau, așa cum este exprimat într-o conversație personală cu autorul acestor rânduri de un coleg care &-Ldquo pentru analiza non-standard nu costa nici o topologie nouă&rdquo-. Dar este? Cu greu.

Este necesar să se atragă atenția asupra unei clase interesantă de fractali care îndeplinesc o astfel de definiție modificată. Dacă setul invariant structural de relație de recurență algoritmice între nivelul structurii indicelui și dimensiune (sau fractale topologic) acest nivel, este posibil să se construiască o clasă infinită de fractali dimensiuni variabile. În special, se crede că se referă la astfel de structuri fractale spațio-temporale POEFS-TPF. Acest lucru este demonstrat de trecerea în spațiul bidimensional atunci când se analizează combinarea electromagnetice și tranziția în spațiu în zece dimensiuni în analiza spectrelor structurilor ultrafine (cm., Respectiv, Sec. 2.8.3 și apendicele 3 sec. 3).

În primul rând, nu există nici o îndoială în faptul că toate logica este topologia pe setul de propuneri elementare. Prin urmare, o nouă logică este noua topologie. În plus, cartea V. Ipoteză citat mai sus [362] conține exemple care infirmă afirmația lui despre triviality topologică analizei non-standard. Acestea sunt, în special: a) aprobarea non-Arhimede câmp HyperReal chisel- b) conținutul întregului § 11, în primul rând introducerea unor condiții de analogi de orientare non-standard de echivalență a relațiilor.
Chiar mai important pentru subiectul acestei monografii exemple de analiză non-standard ™ topologic nontrivial poate da o reformulare a definițiilor dimensiunii topologice și dimensiunea Hausdorff - Besicovitch. Trebuie să introducem aceste modificări este oarecum prematur pentru a discuta o serie de proprietăți importante ale PSF. De aceea, vă recomandăm cititorul să se întoarcă la ei, care au familiarizat cu cererea ca întreg.
În special, inductiv ind dimensiunea topologică în interpretarea precară va fi determinată de caz. Setul E are o dimensiune de (n + 1), în cazul în care acesta nu este un set de dimensiuni ind < (л + 1), а каждая его точка имеет сколь угодно малую окрестность, пересечение границы которой с множеством Е на уровне (к) ФЧС имеет размерность &lsquo-ind <.пи вместе с тем размерность ind п на уровнях (а > к + 1) структуры ФЧС.

În mod similar, nu este dificil de formulat și definirea dim dimensiunea topologice, determinată folosind acoperirile.

Notă. Prin utilizarea unor astfel de definiții exces (din punct de vedere topologic) introducerea în structura spațiului fizic non-formalizable elementul - actualism principiul fizic (a se vedea secțiunea 2.7 ..).

Să încercăm acum să facă o reprezentare pe un algoritm și proprietățile PSF. O analiză detaliată a acestei probleme ar trebui să fie obiectul unui studiu special. Aici vom avea posibilitatea de a spune, analiza polukosvennogo a problemei, și anume, Vom lua în considerare nu numai proprietățile PSF ca în special matematica, inclusiv structura. În primul rând, vom clarifica problema relației dintre capacitatea succesive nivelurile de PSF. De fapt, în cazul în care acestea au fost aceeași putere, construcția de PSF ar fi pierdut sensul.
Utilizarea condiției direcția [362] relațiilor de echivalență între numere reale și giperdeysgvitelnymi și extinderea acestuia la întreaga ierarhie a nivelurilor de PSF, ușor de observat că atunci când se proiectează fiecare dintre nivelurile pe procedura inferioară adiacentă Cantor a făcut &ldquo-set de toate subgrupurile&rdquo-. Prin urmare, este clar că puterea de câmpuri numerice care alcătuiesc nivelurile de PSF, crește uniform odată cu nivelul indicelui.

relativitatea ierarhica a conceptelor teoretice-set

Luați în considerare două concepte fundamentale: densitatea și capacitate.

densitate

De obicei, presupunem că setul de numere naturale nu este dens. Mai simplu (dar, ceea ce presupune evident pentru orice matematician traducerea în limba oficială strictă), ceea ce înseamnă că între oricare două numere naturale adiacente, deși aveți posibilitatea să inserați cel puțin un număr, dar acest număr nu este deja introdus va fi natural. În plus, o multitudine de numere de sunet și reale în dens test standard. În analiza non-standard, cu toate acestea, declarația cu privire la densitatea acestor seturi ar fi o greșeală. De fapt, se presupune că între oricare două numere reale pot fi introduse cel puțin un număr de mai multe, care va fi, de asemenea valabile. Înseamnă doar că nu există două numere reale nu sunt adiacente. Și nu, în cazul general, și presupunând că oricare două numere reale x, x + dx dx diferă printr-o valoare non-zero. În cazul general, este posibil, așa cum se face în testul nestandard, valoarea atributului dx și o valoare zero, astfel încât analogii hiper de numere reale x x + CFX, unde dx = O, va fi adiacentă subsetului valid hiper- axa număr real. Prin urmare, declarația a spus nu înseamnă că cei doi, pur și simplu, numere reale adiacente nu pot insera un număr nelimitat de numere care nu vor mai fi valabile.
Dacă mutați ideea densitatea de seturi de numere raționale și reale pe întreaga ierarhie a capacității sistemelor numerice, ar fi chiar set dens de numere întregi pozitive. De fapt, așa cum sa menționat deja, între cele două numere naturale învecinate nu pot insera orice număr întreg pozitiv, dar aveți posibilitatea să inserați un număr infinit de numere care aparțin oricare dintre următoarele facilități din amonte câmpurile numerice. Același lucru are loc pe mulțimea numerelor reale în analiza non-standard. În general, este clar că fiecare set ordonat este relativ dens pentru propriile sale elemente. Și totuși, în măsura în care poate fi judecat (dar aceasta este doar o ipoteză), orice set ordonat în vrac în ceea ce privește elementele nepotrivite, și anume &-Ldquo atașat&rdquo- expansiunii sale ordonată.

putere

O examinare atentă a acestui concept este la fel de relativă ca și conceptul &ldquo densitate&rdquo-. Deci, în mod tradițional, fiecare șir infinit de numere se bazează set numărabilă. Dar acest lucru este valabil numai atâta timp cât ne simțim obligați să atribuie membri ai numai secvențele indexează naturale. Dar, de fapt, de ce numai naturale? De fapt, în cazul în care indicele de niveluri structurale ale PSF așa cum se face în prezenta anexă, nu există obstacole pentru introducerea următoarelor definiții. Nivelul de elemente de secvență (și a- > 2) indici ai membrilor PSF sunt consecvente (în ceea ce privește definirea vecinătate a nestandardizat în prezentul apendice introduse) strat elemente (a - 1) PSF.
În aceste condiții, este posibil set (secvențe) din orice putere ale cărei elemente sunt orice număr (inclusiv naturale sau presupunând raționale repetă membri). De fapt, ultima afirmație nu este nimic nou. De fapt, acesta este deja conținută în lucrarea lui Cantor &ldquo-o justificare a doctrinei seturilor transfinite&rdquo-. Obiectivul nostru în cazul de față este refractată numai prin această idee aparat conceptual atunci când se construiește analize personalizate PSF.
Oricum, să nu uităm că de îndată ce ne atribuim orice obiect orice caracteristică măsurabilă, ne referim la astfel prezența scării de valori ale acestei caracteristici. Cele de mai sus se referă la complet principalelor constrângeri.

Unele aplicații matematică a conceptului de sisteme de numerație fractale

Generalizat Continuum Ipoteză

Se poate presupune că ipoteza continuum generalizată este o consecință directă a existenței PSF. De fapt, așa cum sa menționat deja, fiecare caracterizat printr-un un set numărabilă fractal nivelelor structurale și ierarhice, adică, nivele cu indici naturali, fiecare dintre care două adiacente diferă prin una.
Notă. Este recomandabil să se reducă nivelul structural al PSF pentru a caracteriza indicele superior. De exemplu, setul de numere reale va avea un indice de un indice mai mare set numărabilă.
Astfel de niveluri indexează PSF compara cu ușurință indicii Cardinals sisteme numerice. Astfel, ipoteza continuum generalizată este adevărată deja pentru construirea de PSF.

teoria numerelor

Fiecare dintre sistemele numerice incluse în PSF este asigurată prin multiplicarea și adăugarea, și în consecință identitatea și elemente de zero, adică Este cel puțin inelul. Nivelul de pornire al primei structuri este un inel din două piese care constă din zero și elementele individuale (neglijând elementul extrinsec 0). Fezabilitatea o astfel de construcție este clar din faptul că nivelurile de putere ale fiecăreia dintre PSF este pus în aplicare în totalitate pe intervalul [0,1]. Astfel, structura PSF se reduce la un segment de structura fractala [0,1].

În conformitate cu această metodologie reprezentată ca un număr infinit ax oscilant fir cu un set de moduri de undă, astfel încât:
a) nivelul modurilor de undă (a + k -1) formează un noduri fixe bate la nivelul (a H +), ce nodurile sunt interpretate ca numere într-un sistem de nivel numeric (a + k) în FCHS-
b) modurile val toate nivelurile două structuri de noduri PSF stabile formează bătăile sunt interpretate ca numere de 0 și 1, astfel încât în ​​primul nivel există doar un PSF (structură în picioare) val cu noduri la punctele 0 și 1
c) grunduiește reprezintă nodurile acestor moduri de undă care descriu funcțiile lor nu sunt incluse în sistemul de funcții ortonormate modurilor de expansiune Fourier [0, 1].
Este evident că acest concept se deschide complet noi, și, în plus, consistente, modalități de a rezolva o serie de probleme de numere teoretice asociate cu căutarea numerelor pe o linie de număr cu proprietăți date.